余弦定理的十一种证明方法

余弦定理的十一种证明方法

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余弦定理是《三角函数》中的重要定理，如何证明这个定理呢？下面谈谈个人的一些看法。

一、余弦定理

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即在中，已知则有

二、定理证明

为了叙述的方便，我们仅证明下列结论：在中，已知，角A所对的角为A，求证：．

证法一：如图1，在中，由 可得：

即

证法二:本方法要注意对进行讨论．

（1）当是直角时，由知结论成立．

（2）当是锐角时，如图2，过点 在．

 从而 ．

 在中，由勾股定理可得： 即．

说明：图2中只对是锐角时符合，而还可以是直角或者钝角．若是直角，图中的点就与点重合；若是钝角， 图中的点就在的延长线上．

（3）当是钝角时，如图3，则在．

从而，．

在中，由勾股定理可得:

即．

综上（1），（2），（3）可知，均有成立．

证法三：（Ⅰ）先证一般三角形郑的射影定理：（证明方法同方法二，分B（或C）为锐角、直角、钝角三种情况，限于篇幅，这里略去）

（Ⅱ）变形：得

即成立．

 证法四：如图4，过点,则

    在．

    在．

 由可得：

整理可得．

证法五：在中，由正弦定理可得．

从而有… = 1 \* GB3 ①

     … = 2 \* GB3 ②

将 = 1 \* GB3 ①代入 = 2 \* GB3 ②，整理可得… = 3 \* GB3 ③

将 = 1 \* GB3 ①、 = 3 \* GB3 ③平方相加可得．

即．

证法六：建立平面直角坐标系（如图5），

则由题意可得点,

再由两点间距离公式可得

即．

证法七：在中，由正弦定理可得

则

即．

证法八：在中，由正弦定理可得

于是，

由于，因此

上述命题显然成立，即成立．

证法九：如图6，以点为圆心，以为半径作圆，直线与 交于点,延长交于,延长交？于，则由作图过程知

故

由相交弦定理可得：

整理可得．

证法十：如图7，过作∥，交的外

接圆于，则,分别过

作的垂线，垂足分别为，

则，故．

由托勒密定理可得

即

整理可得．

证法十一：由图8和图9可得

展开并整理可得．

事实上，余弦定理的证明方法还有很多，比如可以用物理方法证明，可以构造相似三角形证明，还可以利用图形面积证明等等，限于篇幅，这里不再赘述．

（整理撰稿：邹劼，审核：郑观宝 ）                                   2019年11月8日